Стаття "Число і містика" в журналі «Наука і суспільство» № 11 1973 року

Історія математики вза­галі й історія розвитку поняття про число зокре­ма дає нам багато при­кладів відкритої і таєм­ної боротьби між нау­кою і містикою, між ма­теріалізмом та ідеаліз­мом. Бабами-повитухами багатьох забобонів, і се­ред них числової місти­ки, найчастіше були про­повідники різних релі­гій.

Поняття про число, осо­бливо про натуральне, — одне з найскладніших навіть для освіченої лю­дини наших днів. Кожна грамотна людина може оперувати числами, та мало хто — поняттями, що лежать в основі — вчення про число. Склад­ність і загадковість цьо­го поняття — один із чинників, які зумовили велике поширення чис­лової містики й різних пересудів, пов'язаних з числами.

Поняття числа розвива­лось у тісному зв'язку з вивченням величин. Початкове поняття вели­чини було безпосеред­нім узагальненням більш конкретних уявлень: довжини, площі, об'єму, ваги. Цей зв'язок збе­рігся і досі.

Перші люди на Землі з'явилися близько мільйона років тому, але тільки останні 4 — 5 ти­сяч років залишили нам найдавніші письмові па­м'ятки математичних знань (Стародавній Єги­пет, Вавілон). Ясно од­не, що натуральне чис­ло є одним з найдавні­ших понять, і всі куль­турні народи, в яких бу­ла писемність, вже мали уявлення про нього й про ту чи іншу нуме­рацію, а також зналися на найпростіших ариф­метичних діях.

Наука має відомості, які дають змогу приблизно відновити картину того, як лічили наші далекі предки, як вони розгля­дали величини з допо­могою чисел. Це питання надзвичайно важли­ве. Навіть та неповна картина, що її вдається відтворити, має велике значення, зокрема для викриття ідеалістичних теорій, за якими понят­тя числа і навіть усього натурального ряду чи­сел є в людини приро­дженим. Вивчення по­чаткових етапів розвит­ку поняття натурального числа й найпростіших арифметичних опера­цій повністю спростовує ці ідеалістичні теорії.

Здавалося б, що є простіше за лічбу? Го­ворити підряд «один, два, три, чотири, п'ять» тощо може кожний. Ліч­ба ввійшла в наш побут так міцно, ми з нею так зжилися, що не можемо уявити собі людини, яка не вміє лічити. І все ж був час, коли люди лі­чити не вміли. Спостері­гаючи природу, первіс­на людина нагромаджу­вала певні уявлення. Спочатку це були, ма­буть, окремі уявлення, а загальні виробилися то­ді, коли людина почала помічати загальні озна­ки, властиві групі одна­кових предметів. Тоді й виникли поняття «один» та «багато». Лише з ча­сом після уважного спо­стереження приєдналось уявлення «мало».

Поняття «дорівнює», «більше», «менше» існу­ють незалежно від понят­тя числа і дають змогу людині встановлювати кількісні співвідношення між групами об'єктів. От­же, вони повинні були ви­никнути на тій стадії розвитку людини, коли в неї ще не було понят­тя про число. Таким чи­ном, у математиці спо­чатку було не число, а множина. Нам тепер важко уявити собі на­род, в якого немає особливих назв для чи­сел більше трьох, на­род, для якого інші чис­ла виражаються словами «багато», «купа», «при­горща», «оберемок». Зовсім недавно в джунг­лях південної частини острова Мінданао (Фі­ліппіни) виявили плем'я тасадаї, яке живе в пе­черах. У мові тасадаї не­має числівників. На за­питання, скільки чоловік у вашому племені, вони відповісти не можуть, проте готові перелічити всі імена — їх, виявляє­ться, двадцять чотири. Відомо, що лісові веди (народність, яка жи­ве у внутрішній частині острова Цейлону) ніколи не говорять «три дере­ва» або «два бики», а «дерева», «бики», тобто їм доступне найпримітив­ніше уявлення про множинність.

Про те, що був час, коли людина не мала уявлен­ня про число, свідчать також перекази багатьох народів. З часом люди навчились лічити й по­ступово, протягом со­тень віків, передаючи свій досвід і знання з покоління в покоління, розвивали й вдоскона­лювали мистецтво ліч­би. «Поняття числа і фігури, — писав Ф. Ен­гельс, — взяте не звід­ки-небудь, а тільки з дійсного світу. Десять пальців, на яких люди вчилися лічити, тобто робити першу арифме­тичну операцію, явля­ють собою все, що зав­годно, тільки не продукт вільної творчості розу­му».

Є дані, які вказують на те, що людство досить довго стояло на тому щаблі розвитку числових уявлень, коли число «три» було крайньою ме­жею чисел, котрі мали назву, й правило за сим­вол безлічі, величезно­сті.

Та не слід вважати, що племена, в яких існува­ли числівники лише в межах перших трьох чи­сел, не вміли полічити великі сукупності. Люди­на навчилась у певному розумінні лічити задов­го до того, як з'явились назви чисел. Річ у тім, що на цій стадії чисель­ність сприймається не сама по собі, а як одна з властивостей сукупно­сті предметів у ряду з ін­шими властивостями: кольором, формою, роз­міром тощо. Наприклад, дитина, яка не навчила­ся лічити, не відповість на запитання, скільки в неї ляльок, але доклад­но розповість про всіх і відразу ж помітить відсутність котроїсь із них. Таким же чином різні індійські племена, не вміючи лічити, здат­ні визначити, наприклад, що в зграї не вистачає одного собаки або в че­реді бракує двох биків тощо.

Природно, перед люди­ною в її практиці виник­ло завдання кількісно порівнювати сукупності предметів. Нам тепер здасться, що для такого порівняння треба полі­чити предмети в одній та другій сукупності й порівняти одержані чис­ла. Та це було не так.

Ще в недалекому мину­лому житель лісів Цен­тральної Америки вмів лічити в дуже незначних межах, та, незважаючи на це, він обмінював ве­лику кількість слонових іклів на пачки тютюну, не боячись, що його мо­жуть обдурити заморсь­кі купці. Він просто зі­ставляв кількість іклів і кількість пачок тютюну.

Так само, як і число «три», поступово виріз­нялось число «чотири», яке спочатку означало безліч узагалі. В єгипет­ських ієрогліфах велику кількість предметів зо­бражали трьома й чо­тирма рисками; у китай­ців вираз «чотири моря» - означає «всі моря»; в українців «під усі чо­тири вітри» — «на всі сторони». Так поступово збільшувався натураль­ний ряд чисел. Звичай­но, з часом розширення числового запасу йшло дедалі швидшими тем­пами. Це розширення було пов'язане з роз­витком матеріальної культури людства.

З розвитком суспільства дедалі більше коло су­купностей потрапляє в число злічуваних. Щоб поліпшити методи лічби, раціоналізувати їх, де­які народи почали кіль­ка разів повторювати підрахунок пальців од­нієї чи двох рук або двох рук і ніг. Легше також лічити зарубки, якщо їх об'єднати в однакові групи, наприк­лад по 5, по 10, по 20, те саме стосується і підрахунку вузлів, ка­мінців тощо. Всі ці спо­соби називають групо­вою лічбою. Саме в цьо­му напрямі йшла основ­на лінія розвитку лічби.

В різний час і в різних народів граничними чис­лами були 2, 3, 4, 5, 7, 13, 17, 20, 40, 60, 100, 1000 та ін. Багато з них потрапляли до категорії «містичних» чисел, але ми вже бачили, що ні­чого таємничого й за­гадкового в них немає. З ускладненням соціаль­но-економічних умов життя людини дедалі більше розвивалась і її здатність до абстракт­ного мислення. Минуло багато тисячоліть, перш ніж людина засвоїла, що два фазани, дві руки, два чоловіка можна на­звати одним словом «два». Кінець кінцем лю­дина дійшла розуміння, що окреме число — «два», «п'ять» тощо — це властивість сукупно­стей предметів, спільне і для всіх сукупностей.

Перехід від конкретно­го числа до абстрактно­го становив великі труд­нощі для людини, важ­кий він і тепер на по­чатку навчання, це доб­ре відомо вчителеві. Ко­ли дитина знайомиться з натуральними числами й починає лічити, вона ще не розуміє, що цих чисел нескінченна кіль­кість. На початковій ста­дії розвитку математич­них понять діти часто за­питують, яке число є найбільшим. Так само і наші далекі предки дов­гий час не уявляли со­бі натуральний ряд чи­сел як нескінченний, хоч у різних народів були найменування для дуже великих чисел.

Таким чином, поняття числа лише поступово звільнялось від своєї предметної, конкрет­ної форми, виступаючи спочатку у вигляді сло­весного найменування натурального ряду чи­сел, а згодом у вигляді абстрактних математич­них знаків, перетворю­ючись, за словами Ф. Ен­гельса, на те «найчисті­ше кількісне визначен­ня», яке цілком байду­же до природи харак­теризованих ними пред­метів.

Із сказаного випливає основний висновок про виникнення поняття на­турального числа з ма­теріального досвіду, ви­сновок, який викриває всілякі ідеалістичні тео­рії «про природженість поняття числа», про те, що «числа — тільки зна­ки, дані богом людям», що «числа — продукт людського духу» тощо, які були потрібні пропо­відникам ідеалізму для вигнання матеріалізму з математики.

З розвитком поняття на­турального числа як ре­зультату лічби предме­тів у вжиток входять арифметичні дії над са­мими предметами (су­купностями). Лише в ре­зультаті багатовіково­го досвіду склалось уяв­лення про абстрактний характер цих дій.

Нині людині доводиться мати справу з числами на кожному кроці. Тре­ба вміти правильно на­звати й записати будь-яке число, хоч би яке велике воно було. На різних етапах розвитку людського суспільства існували свої спеціальні системи позначень, або нумерації. Метою будь-якої нумерації є зобра­ження кожного нату­рального числа з допо­могою невеликої групи індивідуальних знаків (цифр). З усіх стародав­ніх нумерацій римська, мабуть, єдина, що збе­реглася до цього часу й досить поширена. Рим­ські цифри й тепер вжи­вають для позначення століть, нумерації розді­лів у книжках тощо.

Найдосконалішим різ­новидом непозиційних систем числення були алфавітні позначення чисел. Прикладами їх можуть бути конійська, або старогрецька, сло­в'янська, або старорусь­ка, сірійська, арабська, єврейська, а також гру­зинська і вірменська си­стеми числення. Сліди алфавітної нумерації збереглися до нашого часу в позначенні літе­рами пунктів доповідей, резолюцій тощо. Однак літери служать лише для позначення порядко­вих чисел, кількісні ми ніколи не позначаємо лі­терами. Першою відо­мою нам позиційною си­стемою числення є шіст­десятирічна система древніх вавілонян, яка виникла приблизно 4000 років тому. Вона відігра­ла велику роль у мате­матиці й астрономії, її сліди збереглись донині в поділі кутів і часу.

Родоначальницею су­часної позиційної де­сяткової системи числен­ня була, очевидно, ін­дійська система, яка за­родилась приблизно у V — IX століттях в Індії і потім через арабів по­ширилась в усьому сві­ті. Незважаючи на уяв­ну простоту нашої си­стеми числення, вона бу­ла продуктом тривалого історичного розвитку і в її створенні брали участь цілі народи. Можна ска­зати навіть, що створен­ня такої системи є спра­вою всього людства. Знаменитий французь­кий математик і фізик Лаплас писав: «Думка виражати всі числа де­в'ятьма знаками, надаю­чи їм, крім значення за формою, ще й значення за місцем, настільки проста, що саме через цю простоту важко зро­зуміти, наскільки вона дивовижна. Як нелегко було прийти до цієї ме­тоди, ми бачимо на прикладі великих геніїв грецької вченості Архі­меда і Аполонія, від яких ця думка лиши­лась прихованою...»

Створення сучасної де­сяткової позиційної си­стеми числення не було випадковим, вона не да­на нам «небом» — во­на стала закономірним завершенням немину­чості історичного про­цесу.

Суть числових передсу­дів і числової містики полягає в тому, що ок­ремим числам припису­ється містичне (надпри­родне, таємниче) зна­чення. Натхненниками всіх, без винятку, пе­редсудів є служителі різних релігій, оскільки в основі забобонів, як і релігій, лежить та ж ві­ра в існування таємни­чих, недоступних для ро­зуміння людей, зв'язків між речами та явища­ми. Одним із джерел «містичних чисел» є ста­родавні системи лічби.

Колишні граничні числа наших предків 3, 4, 5, 7, 10, 12, 40, 60, 1000 та інші потрапили до кате­горії «містичних чисел». Вважалось, що деякі з цих граничних чисел ні­бито могли впливати на певні явища природи, бути передвісниками до­брих чи поганих подій у житті племені або окре­мої людини.

Містика чисел — явище пізніше. До категорії мі­стичних чисел потрапили й числа, які у свій час виражали найбільш ста­лі сукупності, що були немовби «основою» міс­цевої системи числення, а також ті числа, які ви­ражали той або інший період (цикл) у приро­ді, котрий не піддавав­ся в той час задовіль­ному поясненню.

Коли люди навчились не­погано лічити й оперу­вати абстрактними чис­лами, вони помітили: в навколишньому світі багато що залежить від числових співвідношень (наприклад, через пев­ну кількість днів у при­роді починається новий цикл розвитку). Це та­кож навело людей на думку про надприродну, божественну суть чи­сел. Давньогрецький ма­тематик Піфагор вважав, що число — суть усіх речей, а Всесвіт являє собою гармонійну си­стему чисел та їх від­ношень. Пізніші піфаго­рійці надавали цьому положенню суто матема­тичного значення.

Особливу роль у роз­витку числової містики відіграла астрологія, яка виникла на основі релі­гійного поклоніння на­родів Стародавнього Сходу небесним світи­лам. Пізніше астрологія поширилась у країнах Європи і в усьому світі.

Одночасно з магією і числовою містикою аст­рологія і в наші дні в капіталістичних країнах служить для обдурюван­ня простих людей. Знач­ного поширення дістала містика, пов'язана з числами 3, 7, 13, 40 і 60. Пізніше з'явились нові містичні числа — 2, 11, 22, 100. Це пояснюється тим, що в природі за період в одинадцять ро­ків, двадцять два і сто років різко змінюється активність сонячного випромінювання, а епі­демії грипу, чуми, ящу­ра, туляремії підпоряд­ковувалися ритму соняч­ного випромінювання.

Багато народів, у тому числі й стародавні єв­реї, серед яких зароди­лася біблія, спочатку за­писували числа не особ­ливими знаками — циф­рами, а літерами алфа­віту. Це також стало джерелом появи містич­них чисел. Щодо цього великий інтерес стано­вить розшифрування го­резвісного апокаліп­сичного, «звіриного чис­ла 666», дане ще Ф. Ен­гельсом. Він узяв два давньоєврейських сло­ва, які означали «імпе­ратор Нерон», і підраху­вав суму числових зна­чень літер, що входять до нього. Вона дорівню­вала 666. У зв'язку з числом 666 цікаво зга­дати героя роману Л. М. Толстого «Війна і мир» П'єра Безухова, який за­мислив убити Наполеона. Написавши французь­кою мовою «імператор Наполеон», П'єр виявив, що сума всіх чисел, які відповідають цим сло­вам, дорівнює 666 і то­му, на його думку, На­полеон був той звір, про якого сказано в апока­ліпсисі.

Навчившись лічити, на­ші предки почали по­мічати різні загадкові властивості чисел, які вони не могли пояснити.

Виявилось, наприклад, що, складаючи різні чис­ла, можна одержати од­не і те ж число або, розміщуючи числа у вигляді квадратної таб­лиці, одержувати одну і ту ж суму в рядках, стовпчиках і на головних діагоналях. Такі квадра­ти називаються магічни­ми. В Китаї та Індії де­які магічні квадрати бу­ли відомі ще до нашої ери.

З давніх часів і до XVI століття (а подеку­ди й досі) збереглося хибне уявлення про те, що люди різного тем­пераменту перебувають під впливом різних пла­нет. Кожній планеті (їх тоді було відомо п'ять), Сонцю і Місяцю астро­логи приписували ма­гічний квадрат певного порядку: Сатурну — третього, Юпітеру — четвертого, Марсу — п'я­того, Сонцю — шостого, Венері — сьомого, Мер­курію — восьмого, Мі­сяцю — дев'ятого. Такі квадрати почали виго­товляти з різних матері­алів і продавати вірую­чим. Зашитий в ладан­ку, він ставав талісма­ном або амулетом.

Отже, з усього сказаного можна зробити кілька висновків. З самого по­чатку розвитку лічби на­ші далекі предки з ве­ликими труднощами до­лали крайні числа типу З, 7, 10, 12. Щоразу до певного часу цей бар'­єр вважався неперебор­ним, таємничим, недо­ступним розумінню лю­дей. Користуючись цим, представники різних ре­лігій оголошували числа «знаками, даними бо­гом». Шкідливість всіля­ких забобонів, у тому числі й числових, поля­гає в тому, що вони за­важають людині пра­вильно розуміти факти і явища навколишнього світу, підривають в ній віру в свої сили.

Олексій Бородін, кандидат фізико-математичних наук, м. Донецьк.